Cho hệ thống x ˙ = f ( x ) + ∑ j = 1 m g j ( x ) u j {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)+\sum _{j=1}^{m}g_{j}(x)u_{j}} , y i = h i ( x ) , i ∈ p {\displaystyle y_{i}=h_{i}(x),i\in p} . Trong đó x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} vector trạng thái, u ∈ R m {\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}} vector đầu vào và y ∈ R p {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{p}} vector đầu ra. f , g , h {\displaystyle f,g,h} là các trường vector mịn.

Bây giờ ta định nghĩa không gian quan sát được O s {\displaystyle {\mathcal {O}}_{s}} là không gian chứa tất cả Đao hàm Lie lặp lại. Bây giờ hệ thống này là quan sát được trong x 0 {\displaystyle x_{0}} nếu và chỉ nếu  dim ( d O s ( x 0 ) ) = n {\displaystyle {\textrm {dim}}(d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0}))=n} .

Ghi chú: d O s ( x 0 ) = s p a n ( d h 1 ( x 0 ) , … , d h p ( x 0 ) , d L v i L v i − 1 , … , L v 1 h j ( x 0 ) ) ,   j ∈ p , k = 1 , 2 , … . {\displaystyle d{\mathcal {O}}_{s}(x_{0})=\mathrm {span} (dh_{1}(x_{0}),\ldots ,dh_{p}(x_{0}),dL_{v_{i}}L_{v_{i-1}},\ldots ,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0})),\ j\in p,k=1,2,\ldots .} [5]

Các tiêu chuẩn đầu tiên cho tính quan sát được trong các hệ thống động học phi tuyến đã được khám phá bởi Griffith và Kumar,[6] Kou, Elliot vàTarn,[7] và Singh.[8]